Случайная величина х распределена по нормальному закону

Случайная величина с нормальным законом распределения

2.4.16. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок.

Найти симметричный относительно а интервал, в который с вероятностью p попадет измеряемое значение, если: 1) p1 =0,9974; 2) p2 = 0,9544; 3) p3 =0,50.

2.4.18. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16,2.

Найти среднее значение и среднее квадратическое отклонение. 2.4.19. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения, причем a=1. Известно, что P(X<2)=0,99. вычислить> 2.4.20.

Деталь, изготовляемая автоматом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм.

Нормальный закон распределения. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если она определена

, (1) где

— функция Лапласа. Значение функции Лапласа для различных значений

можно найти в учебнике или задачнике Гмурмана В.Е.

Пример 1.Станок-автомат сверлит отверстия в центре детали, имеющей форму прямоугольной пластины. Отклонения отверстий от центра детали распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и средними квадратическими отклонениями по длине детали σх = 2 мм, по ширине детали σу =1 мм.

Деталь считается стандартной, если отклонения отверстия от центра не превышают по длине и ширине 3 мм.

Решение. Введем обозначения: Случайная величина

8.8.

Найти вероятность того, что две случайно взятые детали стандартны.

Нормальный закон распределения

е.

, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

. Пример 8.23. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

.

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х. . Сравнивая данную функцию Р(Х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами А = 1 и

. Тогда

,

,

.

Нормальный закон распределения вероятностей

Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания.

При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.

Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < x>< \beta \right)="\int^{\beta" }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. для нормального распределения случайной величины $x$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая>

Вероятность попадания в интервал нормально распределенной случайной величины

Интегральная функция нормального распределения связана с функцией Лапласа

, значения которой берутся из таблиц (см.ниже).

Для вычисления вероятности того, что нормально распределенная случайная величина X будет принимать значения в промежутке (α β) используется формула

.

Среднее значение или математическое ожидание a = .

Среднее квадратическое отклонение σ = или дисперсия D = Вероятность попадания величины a в заданный интервал α = , β = Вероятность того, что абсолютная величина X-a отклонения окажется меньше δ = Пример задачи.

Случайная величина распределена по нормальному закону, ее математическое ожидание равно 2, а дисперсия — 16.

Случайная величина X распределена нормально. Её математическое ожидание a = 2, а среднее квадратическое отклонение σ=5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1; 4).

Тогда ее плотность распределения имеет вид

Ее мода и медиана равны соответственно · 1;1 Случайная величина Х имеет нормальное распределение с плотностью распределения

.

Тогда ее числовые характеристики МХ, DX и

равны соответственно · 1; 36; 6 Случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром . Тогда ее функция распределения

равна ·

Случайная величина Х имеет распределение Коши с плотностью

тогда ее мода и медиана равны соответственно · -3; -3 Случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром

.

Законы распределения НСВ

Функция распределения для СВ

имеет вид:

Числовые характеристики этого распределения таковы:

Вероятность попадания СВ Х в промежуток [0; 1,2] находим, используя формулу

1.2. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00.

Нормальный закон распределения

Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

3.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени.

Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х- время ожидания поезда.

3.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения: F(x)= 0 при х<> 1-е-8х при х≥0.

3.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

f(x)= 0 при х<> 0,7•е-0,7х при х≥0. а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х. 3.7. Случайная величина Х распределена

Нормальный закон распределения

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

,

. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле

, где

.